FHE流程，图源：Data Privacy Made Easy
FHE（Fully homomorphic encryption）是一项先进的加密技术，可以支持在加密的数据上进行直接计算。这意味着可以在保护隐私的同时对数据进行处理。FHE有多个可落地的场景，特别是在隐私保护下的数据处理与分析，如金融、医疗健康、云计算、机器学习、投票系统、物联网、区块链隐私保护等领域。但是商业化仍然需要一定的时间，主要问题在于其算法带来的计算与内存开销极为庞大，可拓展性较差。接下来我们将简要walk through整个算法基本原理以及着重讲述该密码学算法面临的问题。
基本原理
同态加密图示
首先，我们要实现加密的数据进行计算然后还能得到相同的结果，我们可视化如上图所示。这是我们的基本目标。在密码学中，通常使用多项式，来隐藏原文的信息，因为多项式能够转换为线性代数的问题，也可以转换为向量的计算问题，这便于为向量进行高度优化的现代计算机进行运算（如并行计算），例如，3x2 + 2x + 1 可以表示为向量 [1, 2, 3]。
假设，我们要加密2，在一个简化的HE系统中，我们可能会：
选择一个密钥多项式，比如s(x) = 3x2 + 2x + 1
生成一个随机多项式，比如a(x) = 2x2 + 5x + 3
生成一个小的“错误”多项式，比如e(x) = -1x + 2
加密2 -> c(x) = 2 + a(x)*s(x) + e(x)
我们讲一下为什么需要这样做，我们现在假设拿到了密文c(x)，如果想要得到明文m，则公式为c(x) - e(x) - a(x)*s(x) = 2，这里我们随机多项式假设a(x)是公开的，那么只要保证我们的密钥s(x)是保密的即可，我们如果知道了s(x)，再加上c(x)作为一个很小的误差，那么理论上可以忽略，就能得到明文m。
这里有第一个问题，多项式那么多，如何选择多项式呢？多项式的度多大比较好呢？实际上多项式的度是由实现HE的算法决定的。通常是2的幂次，如1024 / 2048等。多项式的系数由一个有限域 q 中随机选择，如 mod 10000，则在0-9999中随机选择，系数随机选择有很多算法遵循，如均匀分布、离散高斯分布等等。不同的方案也有不同的系数选择要求，通常是为了满足该方案下的快速求解原则。
第二个问题，噪声是什么？噪声是用来迷惑攻击者的，因为假设我们的所有数字都是采用s(x)，并且随机多项式处于一个有域中，那么就存在一定的规律，只要输入足够多次的明文m，根据输出的c(x)，就能判断这两个s(x)与c(x)的信息。如果引入了噪声e(x)，就能保证无法通过简单的重复列举获得s(x)与c(x)，因为这有一个完全随机的小误差存在。这个参数也被称为噪声预算（Noise Budget）。假设q = 2^32，初始噪声可能在2^3左右。经过一些操作后，噪声可能增长到2^20。此时仍有足够空间进行解密，因为2^20 2^32。
我们获得了多项式以后，我们现在要把c(x) * d(x)操作转化为“电路”，这个在ZKP中也经常出现，主要是因为电路这个抽象概念提供了一个通用的计算模型表示任何计算，并且电路模型允许精确跟踪和管理每个操作引入的噪声，也方便后续引入到专业硬件中如ASIC、FPGA进行加速计算，如SIMD模型。任何复杂的操作都可以映射成简单的模块化的电路元素，如加法和乘法。
算术电路表示
加法和乘法就能够表达减法以及除法，因此就能够表达任意计算。多项式的系数用二进制表示，称为电路的输入。每个电路的节点代表了执行一次加法或者乘法。每个(*)代表乘法门，每个(+)代表加法门。这个就是算法电路。
这里就引申出一个问题，我们为了语义信息上不泄漏，因此引入了e(x)，这被称为噪声。我们的计算中，加法会让两个e(x)多项式变成，同度的多项式。在乘法中，两个噪声多项式相乘，会让e(x)的度以及文本大小指数级增加，如果噪声过大，就会导致结果计算的过程中，噪声无法忽略，进而导致原文m无法恢复。这是一个限制HE算法表达任意计算的主要原因，因为噪声会指数级增长，导致很快就达到了不可用的阈值。在电路中，这个被称为电路的深度，乘法运算的次数也就是电路的深度数值。
同态加密HE的基本原理如上图所示，为了解决制约着同态加密的噪声问题，因此提出了多项解决方案：
这里面LHE是一个很适合的一个算法，因为在这个算法下，只要深度确定了就能在深度内执行任意函数，但是PHE以及SHE无法实现图灵完备。因此在这个基础上，密码学家进行研究，提出了三个技术来构建FHE全同态加密，期望实现在无限深度执行任意函数的愿景。
Key switching（密钥切换）：我们在乘法后，密文的大小会指数级增长，这会让后续的操作内存和计算资源提出极大的要求，因此在每次乘法后实施Key switching就能压缩密文，但是会引入一点噪声。
Modulus Switching（模数切换）：无论是乘法还是key switching都会让噪声指数级增加，模数q是我们前面讲过的Mod 10000，只能在[0,9999]里面取参数，q越大则噪声经过多次计算后最后噪声仍然在q内，则可以解密。因此在多次操作后，为了避免噪声指数级增大超过阈值，那么就需要使用Modulus Switching，来减小噪声预算，这样就可以压低噪声。我们这里就可以得到一个基本的原理，如果我们的计算很复杂，电路深度很大，那么就需要更大的模数q噪声预算来容纳多次指数级增长后的可用性。
Bootstrap：但是想要实现无限深度的计算，Modulus只能限制噪声的增长，但是每次切换都会让q范围变小，我们知道一旦减小，意味着计算的复杂度就需要降低。Bootstrap是一项刷新技术，就是将噪声重置到原始水平，而不是减小噪声，bootstrap不需要减小模数，因此可以维持系统的计算能力。但是其弊端就是需要消耗大量的算力资源。
总的来说，针对有限步骤下的计算，使用Modulus Switching能够降低噪声，但是同时也会降低模数，也就是噪声预算，导致压缩计算能力。因此这仅仅针对有限步骤下的计算。对于Bootstrap能够实现噪声重置，因此在基于LHE算法之上，能够实现真正意义上的FHE，也就是任意函数的无限计算，而这也是FHE的Fully的含义。
但是缺点也很明显就是需要消耗大量的算力资源，因此一般情况下，这两种降噪技术会结合使用，Modulus switching用于日常的噪声管理，延迟需要bootstrap的时间。当modulus switching无法进一步有效控制噪声时，才使用计算成本更高的bootstrap。
目前FHE的方案有以下具体的实现，都使用的Bootstrap核心技术：
这里也就引出了我们一直未谈及的电路类型，在上面我们介绍的主要是算术电路。但是还有另外一个电路类型——布尔电路。算术电路是1+1这种比较抽象的，节点也是加法或者除法，而布尔电路所有的数字转化为01进制，所有的节点是bool运算，包括NOT、OR、AND运算，类似于我们的计算机的电路实现。而算术电路更是一个抽象上的电路。
因此，我们可以非常粗略的将布尔运算视为没有那么数据密集的灵活的处理，而算术运算是针对数据密集型应用的方案。
FHE面临的问题
由于我们的计算需要加密然后转换为“电路”，并且由于单纯的计算仅仅计算2+4，但是在加密后，引入了大量的密码学间接的计算过程，以及一些前沿技术如Bootstrap来解决噪声问题，进而导致了其计算开销是普通计算的N个数量级。
我们以一个现实世界的列子来让读者感受这些额外的密码学过程对计算资源的开销。假设普通计算在一个3GHz的处理器上需要200个时钟周期,那么一次普通的AES-128解密大约需要67纳秒(200/3GHz)。FHE版本需要35秒,是普通版本的大约522,388,060倍(35/67e-9)。也就是，使用相同的计算资源，同一个普通算法和FHE计算下的算法，其对计算资源的要求大概是5亿倍。
DARPA dprive计划，图源：DARPA
美国的DARPA为了数据安全，因此在2021年专门构建了一个Dprive计划，邀请了多个研究团队包括微软、Intel等，他们的目标是创建一个 FHE 加速器以及配套的软件堆栈，使 FHE 计算速度更符合未加密数据的类似操作，实现FHE计算速度大约为普通计算的1/10的目标。DARPA 项目经理 Tom Rondeau 指出：“估计，在 FHE 世界中，我们的计算速度比在纯文本世界中慢大约一百万倍。
而Dprive主要从以下几个方面着手：
增大处理器字长：现代计算机系统使用64位的字长，也就是一个数字最多64位，但是实际上q往往1024位，如果想要实现就要拆分我们的q，这样会对内存资源和速度有损耗。因此为了实现更大的q，需要构建一个1024位或者更大字长的处理器。有限域q非常重要，就像我们前面提到的，越大，那么可计算的步骤就越多，对于bootstrap的操作就可以尽可能的往后推迟，这样整体的计算资源消耗就会减小。q在FHE中扮演着核心角色，它影响了方案的几乎所有方面，包括安全性、性能、能够进行的计算量以及所需的内存资源。
构建一个ASIC处理器：我们前面讲到过由于便于并行化以及其它原因，我们构建了多项式，通过多项式构建了电路，这个和ZK是相似的。目前的CPU、GPU不具备这个能力（算力资源以及内存资源）来运行电路，需要构建专门的ASIC处理器来允许FHE算法。
构建并行化架构MIMD，与SIMD并行架构不同，SIMD只能在多个数据上执行单一指令，也就是数据的拆分与并行处理，但是MIMD可以拆分数据使用不同的指令进行计算。SIMD主要用于数据并行，这也是大多数区块链项目对交易并行处理的主要架构。而MIMD能够处理各种类型的并行任务。MIMD在技术上更复杂，需要着重处理同步与通信问题。
距离DARPA的DEPRIVE计划仅仅剩下一个月的时间就到期了，原本计划Dprvie是从2021年开始，2024年9月份三个阶段的计划结束，但是似乎其进展缓慢，目前仍然未达到预期的相比于普通计算1/10效率的目标。
虽然攻破FHE技术进展缓慢，类似于ZK技术一样，面临这硬件落地是技术落地的前提这一严峻问题。但是，我们仍然认为从长期来看，FHE技术仍然有其独特的意义，特别是我们第一部分罗列的保护部分安全数据的隐私上。对于DARPA国防部来说，其掌握了大量的敏感数据，如果想要将AI泛型能力释放到军事上，就需要以数据安全的形式训练AI。不仅如此，对于医疗、金融等关键敏感数据也同样适用，实际上FHE并不适用于所有的普通计算，更加面向于敏感数据下的计算需求，这种安全性对于后量子时代尤为重要。
对于这种前沿技术，必须要考虑投资周期与商业化落地的时间差。因此，我们需要非常谨慎的看待FHE的落地时间。
区块链的结合
在区块链中，FHE也主要用于保护数据的私密性，应用领域包括链上隐私、AI训练数据的隐私、链上投票隐私、链上隐私交易审查等方向。其中FHE也被称作链上MEV方案的潜在解决方向之一。根据我们的MEV的文章《照亮黑暗森林 — 揭开 MEV 神秘面纱》所述，当前的许多MEV方案仅仅是重新构建MEV架构的方式，并不是解决的方式，实际上三明治攻击带来的UX问题仍然没有解决。我们一开始想到的方案也是，直接对交易加密，同时保持状态的公开。
MEV PBS流程
但是也有一个问题就是如果我们对交易进行完全的加密，就会让MEV bots带来的正外部性也同时消失，验证者Builder需要运行在虚拟机的基础上进行FHE，验证者也需要验证交易以确定最后的状态正确性，那么就会显著提高运行节点的要求，让整个网络的吞吐量放慢百万倍。
主要项目
FHE Landscape
FHE是一项较新的技术，目前大部分的项目使用的FHE技术都来自于Zama构建的，如Fhenix、Privasea、Inco Network、Mind Network。Zama的FHE工程实现能力获得了这些项目的认可。以上几个项目大部分都基于Zama提供的库进行构建，主要区别在于商业模式。Fhenix希望构建一个隐私优先的Optimism Layer2，Privasea希望运用FHE的能力来进行LLM的数据运算，但是这是一项非常重数据的操作，对FHE的技术与硬件要求都特别高，然后Zama基于的TFHE可能不是最优的选择。Inco Network与Fhenix都使用fhEVM，但是一个是构建Layer1一个是Layer2。Arcium是构建了多种密码学技术的融合，包括了FHE、MPC和ZK。Mind Network的商业模式比较另辟蹊径，选择了Restaking赛道，通过提供流动安全性和基于FHE的子网架构来解决共识层的经济安全与投票信任的问题。
Zama
Zama是基于TFHE的方案，其特点是使用了Bootstrap技术，其着重于处理布尔运算和低字长的整数运算，虽然在我们实现了FHE的方案中是一个较快的技术实现，但是其相比与普通计算仍然有非常大的差距，其次也无法去实现任意计算，在面对数据密集型的任务时，这些运算会导致电路的深度过大而无法处理。其不是数据密集型的方案，其只适用于某些关键步骤的加密处理。
TFHE目前已经有了现成的实现代码，Zama的主要工作是使用Rust语言重写了TFHE，也就是其rs-TFHE crates。同时为了降低用户使用Rust的门槛，其也构建了一个转编译的工具Concrate，能够把Python转化为rs-TFHE等效的。使用这个工具，就能把基于的Python的大模型语言转译到基于TFHE-rs的rust语言。这样就能运行基于同态加密的大模型，但是这时数据密集型的任务，其实并不适合TFHE的场景。Zama的产品fhEVM是一种使用完全同态加密（FHE）在 EVM 上实现机密智能合约的技术，能够支持基于Solidity语言编译端到端加密的智能合约。
总的来说，Zama作为一个To B的产品，其构建了较为完善的基于TFHE的区块链+AI开发堆栈。能够帮助web3的项目简单的构建FHE的基础设施和应用。
Octra
Octra比较特殊的一点是，使用了另辟蹊径的技术来实现FHE。其使用了一个称为hypergraphs的技术来实现bootstrap。也是基于布尔电路，但是Octra认为基于hypergraphs的技术，能实现更高效的FHE。这个是Octra实现FHE的原创技术，团队具备非常强的工程、密码学能力。
Octra 构建了新的智能合约语言，其使用OCaml、AST、ReasonML（一种专门用于与 Octra 区块链网络交互的智能合约和应用程序的语言）等代码库和 C++ 进行开发。其构建的Hyperghraph FHE库，能够与任何项目兼容。
其架构也是类似于Mind Network、Bittensor、Allora等项目，其构建了一个主网，然后其它项目成为subnets，构建了一个相互隔离的运行环境。同时，与这些项目类似，都构建了更适合架构本身的新兴共识协议，Octra构建了一个基于机器学习的共识协议ML-consensus，其本质是基于DAG（有向无环图）的。
该共识的技术原理目前还未披露，但是我们可以大致的推测。大概就是交易被提交到网络中，然后使用SVM（支持向量机）算法来决定最佳的处理节点，主要是通过目前各个节点的网络负载情况选择。系统会基于历史数据（ML算法学习）来判断最好的父节点共识达成的路径。只要满足1/2的节点就可以达成该不断增长的数据库的共识。
期待
前沿密码学技术发展现状，图源：Verdict
FHE技术是一种面向于未来的技术，其发展现状仍然不及ZK技术，缺乏资本的投入，因为隐私保护带来的低效率以及高成本对大部分商业机构来来说都动力不足。ZK技术的发展因为Crypto VC的投入变得更加快速。FHE仍然处于非常早期，即使是现在，市面上的项目仍然较少，因为其成本高昂、工程难度高、商业化落地前景仍然不明朗的等原因导致。2021年DAPRA联合多家公司如Intel、Microsoft等开启了长达42个月的FHE攻克计划，虽然取得一定进展，但是距离实现的性能目标仍然较远。随着Crypto VC对该方向的注意力到来，会有更多的资金涌入这个行业，预计业内会有更多的FHE项目出现，也会有更多类似Zama、Octra等具备很强工程与研究能力的团队站在舞台中央，FHE技术对于区块链的商业化和发展现状的结合仍然值得探索，目前应用较好的就是验证节点投票的匿名化，但是应用范围仍然狭小。
与ZK一样，FHE芯片的落地是FHE商业化落地前提条件之一，目前有多个厂商如Intel、Chain Reaction、Optalysys等在探索这一方面。即使FHE面临许多的技术阻力，但是伴随着FHE芯片的落地 ，全同态加密作为一项极具前景和确切需求的技术，其对于如国防、金融、医疗等行业会带来深刻的变革，释放这些隐私数据与未来量子算法等技术结合的潜力，也会迎来其爆发时刻。
我们愿意探索这一早期的前沿技术，如果你正在构建真正得以商业化落地的FHE产品，或者有更具前沿眼光的技术创新，欢迎与我们接触！
